把 x³ − 7x + 6 完全分解。

Step-by-step solution

1. 1

   列出有理根的候選。 對整係數的首一三次式，任何有理根都必須整除常數項 $6$：

   $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$

   式子裡沒有 $x^{2}$ 項，這表示三個根相加為零（根與係數關係）——測試時記著這個限制很有用。

2. 2

   代入找出第一個根。 試 $x=1$：

   $1^{3}-7(1)+6=1-7+6=0\ \checkmark$

   所以 $x=1$ 是根，由因式定理，$x-1$ 整除這個三次式。

3. 3

   把 $x-1$ 除掉。 用係數 $1,\;0,\;-7,\;6$ 做綜合除法（那個 $0$ 是替缺席的 $x^{2}$ 項佔位），得到

   $1\ \big|\ 1\quad0\quad-7\quad6\ \longrightarrow\ 1\quad1\quad-6\quad\boxed{0}$

   所以商是 $x^{2}+x-6$，餘式是 $0$ ✓，確認整除：

   $x^{3}-7x+6=(x-1)\left(x^{2}+x-6\right)$

4. 4

   分解那個二次式。 兩個數乘積為 $-6$、和為 $+1$：$3$ 與 $-2$ 就成立，因為 $3\times(-2)=-6$、$3+(-2)=1$ ✓：

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

5. 5

   組合起來並驗證。

   $x^{3}-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)$

   這個恆等式在 $-30$ 到 $29$ 的每個整數上都確認過 ✓。根與係數關係也吻合：三根 $1,2,-3$ 相加為 $0$，對應缺席的 $x^{2}$ 項 ✓；三根相乘為 $1\cdot2\cdot(-3)=-6=-\dfrac{\text{常數項}}{\text{首項係數}}$ ✓。