解 0 = 0.7x + 6.804e-10 · x⁴ − 1210.23，求所有實數 x。

Step-by-step solution

1. 1

   把這個四次式寫成標準式。 依次數重新排列，

   $6.804\times10^{-10}\,x^{4}+0.7x-1210.23=0.$

   式子裡沒有 $x^{3}$ 也沒有 $x^{2}$ 項，但這並不代表可以用變數代換解掉——奇次的 $x^{1}$ 項讓它無法化成雙二次式。

2. 2

   不要一看到四次項係數小就把它丟掉。 因為 $6.804\times10^{-10}$ 看起來可以忽略，很容易就去解 $0.7x=1210.23$ 而寫下 $x\approx 1728.9$。這是錯的：在 $x=1728.9$ 時，四次項等於

   $6.804\times10^{-10}\times(1728.9)^{4}\approx 6079,$

   是常數 $1210.23$ 的五倍，根本不是什麼小修正。係數小不代表 $x$ 變大之後那一項也小——這裡的交叉點大約在 $x\approx 1000$，遠低於那個粗略估計。

3. 3

   用取樣的方式把根夾住。 計算 $f(x)=6.804\times10^{-10}x^{4}+0.7x-1210.23$：

   $f(0)=-1210.23,\quad f(500)=-817.71,\quad f(1000)=+170.17,\quad f(1500)=+3284.30.$

   所以 $(500,1000)$ 之間有一個根。掃過 $[-5000,5000]$ 恰好出現兩次變號：一次在 $947$ 附近，一次在 $-1332$ 附近——這個四次式有兩個實根和兩個複數根。

4. 4

   對每個區間做二分。 反覆對分直到 $|f|<10^{-6}$：

   $x_{+}\approx 947.035581,\qquad x_{-}\approx-1332.142808.$

   從 $x_{0}=1000$ 出發用牛頓法，三次疊代就收斂到同一個正根，用到的導函數是 $f'(x)=2.7216\times10^{-9}x^{3}+0.7$。

5. 5

   兩個都代回去。 在 $x=947.035581$：四次項是 $547.31$，一次項是 $662.92$，與 $-1210.23$ 相加得 $\approx-3\times10^{-7}$ ✓。在 $x=-1332.142808$：四次項是 $2142.73$，一次項是 $-932.50$，同樣抵消掉常數項 ✓。注意在真正的根上，兩項的大小是相當的——正好推翻了那個算出 $1728.9$ 的假設。