用綜合除法計算 x³ − 7x + 6 除以 −2x + 1，注意除式的首項係數不是 1。

Step-by-step solution

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   先弄清楚為什麼現在還不能直接用綜合除法。 這個方法是為形如 $x-c$、首項係數恰好為 $1$ 的除式設計的。這裡的除式是 $-2x+1$，所以先把首項係數提出來：

   $-2x+1=-2\left(x-\tfrac{1}{2}\right)$

   這一步改寫就是全部訣竅：先用表格除以首一的那部分 $x-\tfrac12$，事後再把因子 $-2$ 補回來。

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   取 $c=\tfrac12$，除以 $x-\tfrac12$。 缺少的 $x^2$ 項要補上零，係數依序是 $1,\;0,\;-7,\;6$：

   $\begin{array}{r|rrrr}\tfrac12 & 1 & 0 & -7 & 6\\[2pt] & & \tfrac12 & \tfrac14 & -\tfrac{27}{8}\\ \hline & 1 & \tfrac12 & -\tfrac{27}{4} & \tfrac{21}{8}\end{array}$

   於是 $x^3-7x+6=\left(x-\tfrac12\right)\left(x^2+\tfrac12 x-\tfrac{27}{4}\right)+\tfrac{21}{8}$，餘式也與 $f\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac18-\tfrac72+6=\tfrac{21}{8}$ 吻合。

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   只把商除以 $-2$，餘式不動。 因為 $x^3-7x+6=-2\left(x-\tfrac12\right)\cdot Q(x)+R$，所以對 $-2x+1$ 而言的商，就是剛才那個商除以 $-2$：

   $Q(x)=\frac{x^2+\tfrac12 x-\tfrac{27}{4}}{-2}=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{27}{8}$

   餘式原封不動。這種不對稱正是大家最容易做錯的地方：把除式放大若干倍，商會按倒數縮小，餘式卻不變，因為餘式是一個只綁在點 $x=\tfrac12$ 上的常數。

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   寫出除法等式，並說明餘式是合規的。 把各部分拼起來，

   $x^3-7x+6=(-2x+1)\left(-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{27}{8}\right)+\frac{21}{8}$

   餘式 $\tfrac{21}{8}$ 的次數是 $0$，低於除式的次數，所以除法已經做完。

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   展開驗算。 把右邊逐項乘開：

   $(-2x)\left(-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}\right)=x^3+\tfrac12 x^2-\tfrac{27}{4}x$

   $(1)\left(-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}\right)=-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}$

   相加後 $x^2$ 項抵消，且 $-\tfrac{27}{4}x-\tfrac14 x=-7x$，剩下 $x^3-7x+\tfrac{27}{8}$；再加上餘式 $\tfrac{21}{8}$，常數項變成 $\tfrac{48}{8}=6$。所以這個恆等式確實還原出了 $x^3-7x+6\;\checkmark$。