把 a 當成常數，將 x² + x − (a² − a) 因式分解。

Step-by-step solution

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   小心地把外層括號拆掉。 負號要分配到括號裡的兩項：

   $x^2+x-\left(a^2-a\right)=x^2+x-a^2+a$

   漏掉 $-a$ 的變號（寫成 $-a$ 而不是 $+a$）是這一題主要的陷阱。

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   把它當成 x 的首一二次式。 $x$ 的係數是 $1$，常數項是 $a-a^2$。所以我們要找兩個式子，和是 $1$、積是 $a-a^2=a(1-a)$。

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   看出這一對。 最明顯的兩個候選就是 $a$ 與 $1-a$：

   $a+(1-a)=1\ \checkmark,\qquad a(1-a)=a-a^2\ \checkmark$

   兩個條件對 $a$ 都是恆等成立的，這就是為什麼它對參數的每一個值都行得通。

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   寫出因式分解。

   $x^2+x-\left(a^2-a\right)=(x+a)\bigl(x+(1-a)\bigr)=(x+a)(x-a+1)$

5. 5

   用符號展開驗算。

   $(x+a)(x-a+1)=x^2-ax+x+ax-a^2+a=x^2+x-a^2+a\ \checkmark$

   $\pm ax$ 兩項恰好相消，這就是中間只剩下 $x$ 的原因。

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   讀出根，順便得到一個好用的檢查。 這個式子在 $x=-a$ 與 $x=a-1$ 時為零。兩根之和是 $-1=-b/a$ ✓，兩根之積是 $-a(a-1)=a-a^2$ ✓，與常數項相符。數值上，把原式與分解後的形式在 $[-6,6]$ 中隨機取的 $60$ 組 $(x,a)$ 上比較，每一組都在機器精度內相等 ✓。