y = 2x² − 21x + 64 與 y = 3x + a（a 為常數）的圖形恰好交於一點 (x, y)，求 x 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   令兩個 $y$ 的式子相等。 在交點處，同一個 $x$ 對應到的 $y$ 必須相同：

   $2x^2 - 21x + 64 = 3x + a$

2. 2

   把所有項移到同一邊。 兩邊減去 $3x + a$：

   $2x^2 - 24x + (64 - a) = 0$

   這是關於 $x$ 的二次方程式，常數項裡還帶著未知的 $a$。

3. 3

   把「恰好一個交點」翻譯成判別式條件。 二次方程式恰有一個（重）根，恰好發生在判別式為零時。取 $A = 2$、$B = -24$、$C = 64 - a$：

   $B^2 - 4AC = (-24)^2 - 4(2)(64-a) = 576 - 512 + 8a = 8a + 64 = 0$

4. 4

   直接從重根讀出 $x$ —— 這才是捷徑。 其實根本不必求出 $a$。判別式為零時，那個二重根就是 $x = -\dfrac{B}{2A}$，也就是拋物線 $2x^2-24x+(64-a)$ 的頂點所在的位置：

   $x = \frac{24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

5. 5

   順手把 $a$ 也求出來印證。 由 $8a + 64 = 0$ 得 $a = -8$，於是二次方程式是 $2x^2 - 24x + 72 = 2(x-6)^2 = 0$，二重根正是 $x = 6$ ✓。

6. 6

   驗證這個點確實同時落在兩個圖形上。 拋物線：$2(36) - 21(6) + 64 = 72 - 126 + 64 = 10$。直線：$3(6) + (-8) = 10$ ✓。唯一的交點是 $(6, 10)$，所以 $x = 6$。