化簡 −x⁵ − 15x⁴ − 10x³ + 10x³ − 6x + 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先界定什麼樣的兩項才算「同類項」。 兩項能合併的條件是變數部分完全相同，也就是同一個變數配上同樣的指數。$x^5$、$x^4$、$x^3$、$x$ 與常數是五種不同的變數部分，所以只要依指數掃過一遍，就能找出所有可以合併的組合。

2. 2

   依指數分組。 把各次方對應的係數列出來：

   $x^5:\ -1\qquad x^4:\ -15\qquad x^3:\ -10\ \text{與}\ +10\qquad x^1:\ -6\qquad x^0:\ +1$

   只有 $x^3$ 這一列有兩個項，所以也只有這一列需要動手。

3. 3

   合併這組同類項。

   $-10x^3+10x^3=(-10+10)x^3=0\cdot x^3=0$

   係數是零，所以整個三次項從式子裡消失。它不會變成 $x^3$，也不會變成 $20x^3$——常見的失誤是把絕對值相加而忽略正負號。

4. 4

   把剩下的項依標準形式寫出來。 次數由高到低，係數維持不變：

   $-x^5-15x^4-6x+1$

   這個多項式的次數仍然是 $5$（最高次項從頭到尾沒被動過），但項數由六項變成四項，而且完全沒有 $x^3$ 與 $x^2$ 項。

5. 5

   在 $x=1$ 與 $x=2$ 代入檢驗。 原式在 $x=1$：$-1-15-10+10-6+1=-21$；化簡後：$-1-15-6+1=-21$。✓ 在 $x=2$：$-32-240-80+80-12+1=-283$，化簡後 $-32-240-12+1=-283$。✓