解不等式 (x − 1) / ((x − 3)(x − 2)) ≤ 0，並用區間表示解。

Step-by-step solution

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   要找的是臨界點，不是公分母。 這個式子本來就是一個已經分解好的分式，所以正負號只可能在某個因式為零處改變：分子零點 $x = 1$，分母零點 $x = 2$ 與 $x = 3$。千萬不要兩邊同乘 $(x-3)(x-2)$——它的正負號未知，不等號方向就靠不住了。

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   把數線分成四段。 三個臨界點把 $\mathbb{R}$ 切成 $(-\infty,1)$、$(1,2)$、$(2,3)$ 與 $(3,\infty)$。在每一段內部三個因式的正負號都固定，整個分式的正負號也就固定——每段取一個試驗值就夠了。

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   每段取一點代入。

   區間	取點 $x$	值	正負
   $(-\infty,1)$	$0$	$\tfrac{-1}{(-3)(-2)} = -\tfrac16$	負
   $(1,2)$	$1.5$	$\tfrac{0.5}{(-1.5)(-0.5)} = +\tfrac23$	正
   $(2,3)$	$2.5$	$\tfrac{1.5}{(-0.5)(0.5)} = -6$	負
   $(3,\infty)$	$3.5$	$\tfrac{2.5}{(0.5)(1.5)} = +\tfrac{10}{3}$	正

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   每個端點單獨判斷。 不等號是 $\le$，所以分子的零點是允許的：在 $x = 1$ 處值為 $0$，滿足 $\le 0$，因此 $x=1$ 要包含。而分母的零點永遠不允許——在 $x = 2$ 與 $x = 3$ 處式子沒有意義，所以無論不等號朝哪個方向，這兩個點都必須排除。

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   拼出解。 把正負號為負的區間收集起來，再補上那個閉端點：

   $(-\infty,\,1] \;\cup\; (2,\,3)$

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   對照常見的干擾選項檢查。 符號運算軟體給出的正是 $(-\infty,1] \cup (2,3)$ ✓。而 $[1,2) \cup [3,\infty)$ 取的是正負號為正的區間，還錯誤地把一個極點取成了閉端點；$[1,2] \cup (3,\infty)$ 把 $x=2$ 取成閉端點，可是式子在那裡根本不存在。