三次多項式 f(x) 的零點為 −3、10 與 6，且 x³ 的係數為 5，求 f(x) 的式子。

Step-by-step solution

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   把每個零點變成一個因式。 因式定理告訴我們：$f(r) = 0$ 的充要條件是 $(x - r)$ 整除 $f(x)$。所以零點 $-3$、$10$、$6$ 分別貢獻因式 $(x+3)$、$(x-10)$、$(x-6)$。注意正負號：零點 $-3$ 給出的是 $\bigl(x-(-3)\bigr) = (x+3)$。

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   別忘了還有一個未知的倍率。 三個一次因式相乘已經是三次了，但故事還沒完：任何常數倍都有相同的零點。所以最一般的形式是

   $f(x) = a(x+3)(x-10)(x-6)$

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   用首項係數把 $a$ 定下來。 乘開時，唯一能湊出 $x^3$ 的方式就是每個因式都取 $x$，所以 $x^3$ 項為 $a \cdot x \cdot x \cdot x = ax^3$。與題目給的 $x^3$ 係數比對：

   $a = 5 \quad\Longrightarrow\quad f(x) = 5(x+3)(x-10)(x-6)$

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   展開成標準式。 先乘開比較好算的兩個因式：

   $(x+3)(x-10) = x^2 - 7x - 30$

   再乘上剩下的因式：

   $(x^2 - 7x - 30)(x-6) = x^3 - 13x^2 + 12x + 180$

   最後乘進 $5$：

   $f(x) = 5x^3 - 65x^2 + 60x + 900$

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   檢查三個零點是否真的讓函數值為零。 把每個根代入標準式，得 $f(-3) = f(6) = f(10) = 0$，且 $x^3$ 的係數確實是 $5$。因式形式與展開式都是正確答案——因式形式看得到零點，標準式看得到係數。