求 log 以 3 為底 18 的值，除以 2 加上 log 以 3 為底 2 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   先讀懂記號。 原題是用冒號寫的 $\log_3 18:(2+\log_3 2)$，在這個慣例裡「$a:b$」就是 $a\div b$。所以要求的是單一個分式 $\dfrac{\log_3 18}{2+\log_3 2}$ 的值。

2. 2

   把 18 分解，讓底的次方現形。 底是 $3$，所以去找 $3$ 的因數：

   $18=9\cdot 2=3^2\cdot 2$

   整個想法就在這裡——分母已經有一個單獨的 $2$ 和一個 $\log_3 2$，這暗示分子裡也藏著同樣的兩塊。

3. 3

   用乘法律把對數拆開。 由 $\log_b(MN)=\log_b M+\log_b N$，

   $\log_3 18=\log_3(3^2)+\log_3 2=2+\log_3 2$

   因為 $\log_3(3^2)=2$ 是精確的。

4. 4

   代回去約分。 分子現在和分母一模一樣：

   $\frac{\log_3 18}{2+\log_3 2}=\frac{2+\log_3 2}{2+\log_3 2}=1$

   這個約分是合法的，因為 $\log_3 2\approx 0.6309>0$，分母約為 $2.63$，絕不會是零。

5. 5

   用數值確認。 $\log_3 18=\frac{\ln 18}{\ln 3}=2.6309298$，而 $2+\log_3 2=2+0.6309298=2.6309298$。兩者到小數第七位都相同，所以這個比值恰好是 $1$。