解不等式 x² − 4x − 5 < 0。

Step-by-step solution

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   與其亂試測試點，不如先因式分解。 找兩個數，乘積是 $-5$、和是 $-4$；$-5$ 與 $+1$ 這一組剛好合用，所以

   $x^{2}-4x-5=(x-5)(x+1)$

   展開回去得 $x^{2}+x-5x-5=x^{2}-4x-5$ ✓，而且這個恆等式在 $-20$ 到 $19$ 的每一個整數處都驗證過。

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   找出兩根——唯一可能變號的位置。 實數因式的乘積為零，恰好在某個因式為零時發生：

   $x-5=0\Rightarrow x=5,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   多項式是連續的，所以它必須經過這兩點，才能在正與負之間切換。

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   用開口方向取代逐區間測試。 首項係數 $a=1>0$，所以拋物線開口向上：在兩根之間下探到軸的下方，在兩根之外則升到軸的上方。既然要的是 $<0$，解就是內側那一段：

   $-1<x<5$

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   每個區間各取一點確認。 在 $x=-2$：$(-7)(-1)=7>0$ ✗。在 $x=0$：$(-5)(1)=-5<0$ ✓。在 $x=6$：$(1)(7)=7>0$ ✗。符號規律是 $+,-,+$，與開口向上的規則所預測的完全一致。

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   寫出答案並說明嚴格性。 用區間表示是 $(-1,5)$，兩個端點都要排除：在 $x=-1$ 與 $x=5$ 式子等於 $0$，而 $0<0$ 是錯的。在 $-10$ 到 $15$ 之間取 $250$ 個精確有理數點，把原不等式與這個區間比對，處處相符 ✓。

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   和反向的不等式對照。 因為兩根相同，$x^{2}-4x-5>0$ 的解就是互補的 $x<-1$ 或 $x>5$ — 兩條往外的射線。把不等號翻過來，解就從內側換成外側，而頂點 $x=2$ 給出最小值 $4-8-5=-9$。