解方程式 3x⁴ + 8x³ − 4x² − 16x = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先提出公因式 x。 每一項都帶有一個 $x$：

   $x\left(3x^3 + 8x^2 - 4x - 16\right) = 0$

   所以 $x = 0$ 馬上就是一個根，其餘的根都來自那個三次式。

2. 2

   這題不要相信分組分解。 最誘人的做法是 $\left(3x^3 + 8x^2\right) + \left(-4x - 16\right) = x^2(3x+8) - 4(x+4)$。兩個括號分別是 $3x+8$ 與 $x+4$ —— 它們並不相同，所以分組分解合不起來。若硬把後半寫成 $-4(3x+8)$，那代表的是 $-12x - 32$ 而不是 $-4x - 16$；這個閃失正是這道題常見錯誤答案 $x = -\tfrac83,\,\pm 2$ 的來源。

3. 3

   改成替三次式找一個有理根。 候選值是 $\pm\tfrac{d}{e}$，其中 $d \mid 16$、$e \mid 3$。試 $x = -2$：

   $3(-8) + 8(4) - 4(-2) - 16 = -24 + 32 + 8 - 16 = 0$

   所以 $(x+2)$ 整除這個三次式。

4. 4

   做除法並分解商式。 用 $(x+2)$ 去除 $3x^3 + 8x^2 - 4x - 16$ 得到 $3x^2 + 2x - 8$，而它可以分解成 $(3x - 4)(x + 2)$。於是

   $3x^3 + 8x^2 - 4x - 16 = (x+2)^2(3x-4)$

   完整的因式分解就是

   $3x^4 + 8x^3 - 4x^2 - 16x = x(x+2)^2(3x-4)$

5. 5

   把根讀出來。 讓每個因式各自等於零：

   $x = 0, \qquad x = -2 \ \text{（重根）}, \qquad x = \frac{4}{3}$

6. 6

   驗算。 把 $x(x+2)^2(3x-4)$ 展開，係數確實回到 $3,\ 8,\ -4,\ -16,\ 0$。直接代入也可以：$f(0) = 0$、$f(-2) = 48 - 64 - 16 + 32 = 0$、$f(4/3) = 0$ 誤差在 $10^{-14}$ 以內。因為 $x = -2$ 是重根，圖形在該處只與 x 軸相切而不穿過。