解方程式 3x² + 5x − 6 = 0。

Step-by-step solution

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   先讀出係數。 對照標準式 $ax^{2}+bx+c=0$：

   $a=3,\qquad b=5,\qquad c=-6$

   注意 $c=-6$ 的負號要留著 —— 把它正確地帶進判別式，正是這題的關鍵。

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   先算判別式。

   $\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4(3)(-6)=25+72=97$

   兩個負號相乘，讓 $-4ac$ 這一項變成正的 $72$。既然 $\Delta=97>0$，就有兩個相異實根；但 $97$ 是質數 —— 所以它不是完全平方數，兩根都是無理數，$3x^{2}+5x-6$ 也不存在整數係數的因式分解。

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   代入公式解。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{97}}{2(3)}=\frac{-5\pm\sqrt{97}}{6}$

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   確認沒有東西還能再化簡。 $97$ 沒有平方因數，所以 $\sqrt{97}$ 無法再化簡；而 $-5$、$1$ 與 $6$ 沒有公因數，所以這個分數就維持原樣。兩個根是

   $x=\frac{-5+\sqrt{97}}{6}\approx0.808143,\qquad x=\frac{-5-\sqrt{97}}{6}\approx-2.474810$

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   用根與係數關係與代入法雙重驗算。 兩根的和應該是 $-b/a=-\tfrac53$：$\dfrac{-5+\sqrt{97}}{6}+\dfrac{-5-\sqrt{97}}{6}=\dfrac{-10}{6}=-\dfrac53$ ✓。兩根的乘積應該是 $c/a=-2$：$\dfrac{25-97}{36}=\dfrac{-72}{36}=-2$ ✓。把任一根代進 $3x^{2}+5x-6$，餘值都在 $10^{-11}$ 以下 ✓。