已知 3x + y = 1，求使 y/x + 1/y ≤ m 恆成立的最大 m 值。

Step-by-step solution

1. 1

   用這個條件化成一個變數。 由 $3x + y = 1$ 得 $y = 1 - 3x$，於是式子變成只含 $x$ 的函數：

   $f(x) = \frac{1-3x}{x} + \frac{1}{1-3x} = \frac{1}{x} - 3 + \frac{1}{1-3x}$

   把 $\frac{1-3x}{x} = \frac1x - 3$ 這樣改寫，正是為了把兩個各自獨立的極點暴露出來。

2. 2

   記下定義域。 兩個分母都不能為零：

   $x \ne 0 \quad \text{且} \quad y = 1 - 3x \ne 0 \ \Longrightarrow \ x \ne \tfrac13$

   所以定義域是 $\mathbb{R} \setminus \left\{0, \tfrac13\right\}$——而被排除的 $x = \tfrac13$ 恰恰就是麻煩所在。

3. 3

   考察 x = 1/3 這個極點附近的行為。 當 $x \to \tfrac13^-$ 時 $1 - 3x \to 0^+$，因此

   $\frac{1}{1-3x} \to +\infty, \qquad \text{而} \quad \frac1x - 3 \to 3 - 3 = 0$

   第一項爆掉，其餘部分保持有界，所以 $f(x) \to +\infty$。

4. 4

   用具體數值確認。 讓 $x$ 由左側越來越靠近 $\tfrac13$：

   $x = 0.33 \Rightarrow f = 100.03, \qquad x = 0.333 \Rightarrow f = 1000.003, \qquad x = 0.33333 \Rightarrow f \approx 10^{5}$

   任何給定的目標值都會被超過，所以這個式子沒有上界。（當 $x \to 0^-$ 時情況不同：那裡並不是 $\tfrac1x \to +\infty$，而是 $f \to -\infty$——不過只要有一個方向發散就夠了。）

5. 5

   得出「不存在最大的 m」這個結論。 要讓 $\frac{y}{x} + \frac1y \le m$ 對一切允許的 $x, y$ 都成立，就必須有 $m \ge \sup f = +\infty$。沒有實數能滿足這一點，所以：

   $\sup_{3x+y=1} \left(\frac{y}{x} + \frac{1}{y}\right) = +\infty, \qquad \text{不存在最大的 } m \text{ 值}$

   如果原題還附帶 $x > 0,\ y > 0$ 這類正負號限制，請注意 $x = \tfrac13^-$ 處的極點仍然落在那個範圍裡，所以式子在那裡同樣沒有上界，結論不變。