分解 a⁶ + b⁶。

Step-by-step solution

1. 1

   選對拆法，「和」才分得開。 指數 $6$ 可以看成 $2\times3$ 或 $3\times2$。看成平方，$\left(a^{3}\right)^{2}+\left(b^{3}\right)^{2}$ 是平方和，分不開；看成立方就可以：

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}\right)^{3}+\left(b^{2}\right)^{3}$

   教訓是：「和」要靠奇數指數才分得開——這裡藏著的奇數指數就是那個 $3$。

2. 2

   套用立方和公式 $u^{3}+v^{3}=(u+v)\left(u^{2}-uv+v^{2}\right)$，其中 $u=a^{2}$、$v=b^{2}$：

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(\left(a^{2}\right)^{2}-a^{2}b^{2}+\left(b^{2}\right)^{2}\right)$

3. 3

   把次方整理乾淨。 因為 $\left(a^{2}\right)^{2}=a^{4}$、$\left(b^{2}\right)^{2}=b^{4}$：

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}\right)$

   中間項是 $-a^{2}b^{2}$，也就是 $uv$——不是 $-2a^{2}b^{2}$，那個屬於完全平方式。

4. 4

   用展開與代數字兩種方式驗證。 展開得 $a^{6}-a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}+a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}=a^{6}+b^{6}$ ✓——中間四項兩兩抵消。這個恆等式在 $-8\le a,b\le8$ 的全部 $289$ 組整數上都成立 ✓。抽查 $a=2,b=1$：$64+1=65$，而 $(5)(16-4+1)=5\cdot13=65$ ✓。

5. 5

   說明在整數上為何無法再推進。 $a^{2}+b^{2}$ 是平方和，在實數上不可分解。四次式 $a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}$ 也沒有實數的一次因式——它等於 $\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}-3a^{2}b^{2}$，雖然那是個平方差，但拆開會引進 $\sqrt3$，就不再是整數範圍的分解。所以這個兩因式的答案在 $\mathbb{Z}$ 上已經完整。