解 x³ − 59x² − 420x + 10800 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先試有理根定理，然後讓它失敗。 首一整係數三次式的有理根，必定是常數項 $10800=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}$ 的整數因數。把合理的候選值試過一輪：$f(10)=1700$、$f(12)=-1008$、$f(15)=-5400$、$f(20)=-13200$、$f(-15)=450$、$f(-20)=-12400$。全都不為零，其餘因數也一樣，所以沒有有理根，在整數範圍內也分解不了——這條三次式只能用數值方法解。

2. 2

   用變號定位三個根。 剛才對 $f(x)=x^{3}-59x^{2}-420x+10800$ 算過的那些值，其實已經把每個根都框住了。由 $f(-20)=-12400<0$ 與 $f(-15)=450>0$，有一個根落在 $(-20,-15)$。由 $f(11)=372>0$ 與 $f(12)=-1008<0$，第二個落在 $(11,12)$。再由 $f(62)=-3708<0$ 與 $f(63)=216>0$，第三個落在 $(62,63)$。三次式出現三次變號，代表三個根都是實數而且都是單根。

3. 3

   用牛頓法逐段逼近。 取 $f'(x)=3x^{2}-118x-420$，從每個區間的中點開始迭代 $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$，幾步之內就收斂到 $x_{1}=-15.219737190,\qquad x_{2}=11.273122422,\qquad x_{3}=62.946614768.$ 每個根處的導數都離零很遠（$2070.85$、$-1368.98$、$4039.13$），所以牛頓法收斂得很乾淨。

4. 4

   用三條根與係數關係驗證，而不是只看和。 對 $x^{3}+ax^{2}+bx+c$，三根滿足 $\sum r_{i}=-a$、$\sum_{i<j}r_{i}r_{j}=b$、$r_{1}r_{2}r_{3}=-c$。我們算出的值給出 $\sum r_{i}=59.000000,\qquad \sum_{i<j}r_{i}r_{j}=-420.000000,\qquad r_{1}r_{2}r_{3}=-10800.000000,$ 恰好對上 $59$、$-420$ 與 $-10800$。只檢查和是不夠的——一組錯的根仍然可能加起來正確，乘積卻錯得離譜。

5. 5

   寫出答案。 $x\approx -15.219737,\qquad x\approx 11.273122,\qquad x\approx 62.946615.$ 三個根相距這麼遠，正是係數所預告的：$x^{3}-59x^{2}$ 的主導行為把一個根推到 $60$ 以外，而很大的常數 $10800$ 又讓另外兩個維持得相對小。