將 (xy − 1)² + (x + y − 2)(x + y − 2xy) 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   把平方展開。 用 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$，其中 $a=xy$、$b=1$：

   $(xy-1)^{2}=x^{2}y^{2}-2xy+1.$

2. 2

   把乘積拆成兩半展開。 把第一個括號拆成 $(x+y)-2$：

   $(x+y)(x+y-2xy)=(x+y)^{2}-2xy(x+y)=x^{2}+2xy+y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2},$

   $-2(x+y-2xy)=-2x-2y+4xy.$

   兩者相加：

   $x^{2}+y^{2}+6xy-2x^{2}y-2xy^{2}-2x-2y.$

   其中 $6xy$ 來自 $2xy+4xy$——把這兩份分開的貢獻收齊，是最容易出錯的一步。

3. 3

   把兩部分加起來。 與展開後的平方合併，並把 $xy$ 項併起來（$-2xy+6xy=4xy$）：

   $x^{2}y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2}+x^{2}+y^{2}+4xy-2x-2y+1.$

   九項，而且交換 $x$ 與 $y$ 之後保持不變——這強烈暗示分解結果也會是對稱的。

4. 4

   認出這是完全平方。 考慮 $t=xy-x-y+1$。把它平方：

   $t^{2}=x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1-2x^{2}y-2xy^{2}+2xy+2xy-2x-2y=x^{2}y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2}+x^{2}+y^{2}+4xy-2x-2y+1,$

   與剛才的展開完全相符。所以整個式子就等於 $t^{2}$。

5. 5

   分解 $t$，寫出答案。 分組可得 $xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)$，所以

   $(xy-1)^{2}+(x+y-2)(x+y-2xy)=\left[(x-1)(y-1)\right]^{2}=(x-1)^{2}(y-1)^{2}.$

   因此這個式子永遠不會是負的，而且恰好在 $x=1$ 或 $y=1$ 時為零。在 $(x,y)=(1.8,-0.4)$ 做數值檢查：兩種形式都得到 $1.2544$ ✓，另外兩組隨機數對也吻合到九位數。