解方程式 x³ − 3x² + 4 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先試有理根。 由有理根定理，候選值只有 $\pm1, \pm2, \pm4$。逐個代入：$f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$，$f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0$，$f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$。一下就中了兩個，這已經暗示存在重因式。

2. 2

   用綜合除法除以 (x − 2)。 寫係數時要把缺掉的一次項補上：$1,\ -3,\ 0,\ 4$。首項落下 $1$，每步乘 $2$ 再相加，得到一列 $1,\ -1,\ -2$，餘式為 $0$，所以

   $x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)\left(x^2 - x - 2\right)$

   補上那個佔位的 $0$ 至關重要 —— 漏掉它，後面每一個係數都會錯位。

3. 3

   分解那個二次式。 乘積為 $-2$、和為 $-1$ 的兩個數是 $-2$ 與 $1$：

   $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

4. 4

   寫出完整的因式分解。

   $x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)^2(x+1)$

   因式 $(x-2)$ 出現了兩次，印證了前面的猜測。

5. 5

   寫出根及其重數。

   $x = 2 \ \text{（二重根）}, \qquad x = -1$

6. 6

   驗算。 把 $(x-2)^2(x+1) = \left(x^2 - 4x + 4\right)(x+1) = x^3 - 3x^2 + 4$ 展開 —— 其中 $x$ 的項 $-4x$ 與 $+4x$ 互相抵消，這正是原式沒有一次項的原因。由於 $x = 2$ 的重數是偶數，曲線在那裡與橫軸相切而不穿過；而在 $x = -1$ 處則是穿過去的。