解三次方程式 x³ + 3x² + 2x − 504 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把含變數的部分分解，看出結構。 前三項都含有一個 $x$：

   $x^3+3x^2+2x=x\left(x^2+3x+2\right)=x(x+1)(x+2)$

   所以方程式其實是

   $x(x+1)(x+2)=504$

   也就是：找出乘積為 $504$ 的三個連續整數。 認出這個形狀，就能把一個三次方程式變成一行的搜尋。

2. 2

   在立方根附近搜尋。 三個接近 $n$ 的連續整數，乘積大約是 $n^3$，而 $\sqrt[3]{504}\approx7.96$，所以試以 $8$ 為中心的那一組：

   $7\times8\times9=504\ \checkmark$

   因此 $x=7$ 是一個根。直接代入確認：$343+147+14-504=0$ ✓。

3. 3

   用綜合除法降次。 以係數 $1,\ 3,\ 2,\ -504$ 除以 $x-7$：

   $1\quad\to\quad 3+7=10\quad\to\quad 2+70=72\quad\to\quad -504+504=0$

   餘式為零，確認了這個根；商式則是 $x^2+10x+72$：

   $x^3+3x^2+2x-504=(x-7)\left(x^2+10x+72\right)$

4. 4

   解那個二次因式。 它的判別式是

   $10^2-4(1)(72)=100-288=-188<0$

   所以剩下的兩個根是複數——也就是說 $x=7$ 是唯一的實數解。

5. 5

   化簡這對複數根。 由於 $\sqrt{-188}=i\sqrt{4\cdot47}=2i\sqrt{47}$：

   $x=\frac{-10\pm2i\sqrt{47}}{2}=-5\pm i\sqrt{47}$

6. 6

   三個根全部驗算。 代入 $x=7$ 恰好得到 $0$ ✓。代入 $-5\pm i\sqrt{47}$，在複數運算下誤差在 $1.1\times10^{-14}$ 以內得到 $0$ ✓。作為結構上的檢查，三根之和為 $7+(-5)+(-5)=-3=-b/a$ ✓，三根之積為 $7\left(25+47\right)=504=-d/a$ ✓。