解聯立方程式 3x + 2y = 5 與 2x − 3y = −1。

Step-by-step solution

1. 1

   選用加減消去法，並決定要消去哪個變數。 兩式都沒有係數為 $1$ 的項，所以用代入法會冒出分數；加減消去法乾淨得多。$y$ 的兩個係數是 $2$ 與 $-3$，最小公倍數是 $6$——而且它們本來就異號，所以只要放大倍數，相加時就會抵消。

2. 2

   把兩式各自放大。 第一式乘以 $3$，第二式乘以 $2$：

   $3(3x+2y=5)\;\Longrightarrow\;9x+6y=15,$

   $2(2x-3y=-1)\;\Longrightarrow\;4x-6y=-2.$

   每一項都要乘，右邊也不例外——那個 $15$ 與 $-2$ 正是這一步最常出錯的地方。

3. 3

   兩式相加以消去 $y$。 $+6y$ 與 $-6y$ 互相抵消：

   $(9x+4x)+(6y-6y)=15+(-2)\;\Longrightarrow\;13x=13\;\Longrightarrow\;x=1.$

4. 4

   回代求 $y$。 用原本的第一式：

   $3(1)+2y=5\;\Longrightarrow\;2y=2\;\Longrightarrow\;y=1.$

   代進原本的式子而不是放大後的式子，可以確保第 2 步若有錯，不會悄悄傳染到 $y$。

5. 5

   兩個原式都檢驗。 第一式：$3(1)+2(1)=5$ ✓。第二式：$2(1)-3(1)=-1$ ✓。從幾何上看，兩條直線的斜率是 $-\tfrac32$ 與 $\tfrac23$，互為負倒數，所以它們垂直相交於唯一一點 $(1,1)$——解唯一，這也由非零的行列式 $3(-3)-2(2)=-13$ 所保證。