解方程式 42x = 750。

Step-by-step solution

1. 1

   兩邊同除以係數。

   $x=\frac{750}{42}$

   因為 $42\times17=714$、$42\times18=756$，答案介於 $17$ 與 $18$ 之間 —— 這個範圍稍後可以拿來對答案。

2. 2

   求最大公因數。 把兩個數分解：

   $750=2\cdot3\cdot5^{3},\qquad42=2\cdot3\cdot7$

   共同的質因數是 $2$ 與 $3$，所以 $\gcd(750,42)=6$。

3. 3

   約掉 6。

   $x=\frac{750\div6}{42\div6}=\frac{125}{7}$

   此時 $125=5^{3}$、而 $7$ 是質數，兩者沒有共同因數，分數已經是最簡分數。

4. 4

   改寫成帶分數與小數。 因為 $7\times17=119$、餘 $6$：

   $x=\frac{125}{7}=17\tfrac{6}{7}=17.\overline{857142}\approx17.8571$

   小數的循環節長度是 $6$，這正是分母為 $7$ 的特徵。這個值落在第 1 步預測的區間 $(17,18)$ 內 ✓。

5. 5

   代回原方程式驗算。

   $42\cdot\frac{125}{7}=\frac{42}{7}\cdot125=6\cdot125=750\ \checkmark$

   先把 $7$ 約進 $42$ 裡，驗算就能保持精確而且心算得出來。用精確的有理數運算再確認一次 ✓。