分解 4AB² − 4A²B − B³。

Step-by-step solution

1. 1

   先提出共同的變數因子。 每一項都至少含一個 $B$（次方分別是 $2,1,3$），而最後一項沒有 $A$，所以公因式只有 $B$。係數 $4,-4,-1$ 除了 $1$ 以外沒有共同的數字因數：

   $4AB^2-4A^2B-B^3=B\left(4AB-4A^2-B^2\right)$

2. 2

   把括號按 A 的降冪重新排列。 寫成 $-4A^2+4AB-B^2$ 之後結構就浮現了——首項係數是負的，這暗示有個負號想被提出來。

3. 3

   把負號提出來。

   $4AB-4A^2-B^2=-\left(4A^2-4AB+B^2\right)$

   括號內三個符號全部翻轉。跳過這一步，正是大多數人看不出完全平方的原因。

4. 4

   認出完全平方式。 對 $4A^2-4AB+B^2$：頭尾兩項是 $(2A)^2$ 與 $B^2$，中間項是 $-2\cdot(2A)\cdot B=-4AB$ ✓。所以

   $4A^2-4AB+B^2=(2A-B)^2$

5. 5

   把分解式組回去。

   $4AB^2-4A^2B-B^3=B\cdot\left[-(2A-B)^2\right]=-B\left(2A-B\right)^2$

   因為平方會吃掉符號，$(2A-B)^2=(B-2A)^2$，所以 $-B(B-2A)^2$ 是同一個答案的另一種寫法。

6. 6

   從這個形式讀出資訊。 因為 $(2A-B)^2\ge0$ 恆成立，整個式子的正負與 $B$ 相反：$B>0$ 時為負，$B<0$ 時為正，$B=0$ 或 $B=2A$ 時為零。

7. 7

   數值驗證。 在 $[-5,5]$ 中隨機取 $60$ 組 $(A,B)$，原式與 $-B(2A-B)^2$ 在每一點都吻合到機器精度 ✓。