化簡 √(−140)。

Step-by-step solution

1. 1

   第一件事就是把虛數單位提出來。 依定義 $i=\sqrt{-1}$，所以對 $a>0$：

   $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{-140}=i\sqrt{140}$

   先做這一步，後面每一步都留在實數範圍內，一般的根式規則才適用。

2. 2

   找出 $140$ 的最大完全平方因數。 它的質因數分解是 $140=2^2\times 5\times 7$，平方的部分是 $4$：

   $140=4\times 35$

3. 3

   化簡實數部分的根式。

   $\sqrt{140}=\sqrt4\cdot\sqrt{35}=2\sqrt{35}$

   而 $35=5\times 7$ 不含平方因數，再也開不出東西。

4. 4

   把各部分合起來。

   $\sqrt{-140}=2i\sqrt{35}$

5. 5

   平方回去檢查。 $\left(2i\sqrt{35}\right)^2=4i^2\cdot 35=4(-1)(35)=-140$ $\checkmark$。數值上 $2\sqrt{35}\approx 11.8322$，所以這個值大約是 $11.8322i$。