求函數 f(x) = 1 / (8/(x − 5) − 2) 的定義域，並以區間表示法寫出。

Step-by-step solution

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   要數的是分母的個數，不是分式的個數。 繁分式可能出問題的地方不只一處。這個函數有兩處：內層分母 $x-5$，以及外層分母 $\frac{8}{x-5}-2$。兩者都不能為零，各自給出一個要排除的值。

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   限制一——內層分母。 $\frac{8}{x-5}$ 要求

   $x-5\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 5.$

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   限制二——外層分母。 令外層分母等於零解出來，再把那個根排除：

   $\frac{8}{x-5}-2=0\ \Longrightarrow\ \frac{8}{x-5}=2\ \Longrightarrow\ 8=2(x-5)\ \Longrightarrow\ x=9,$

   所以 $x\ne 9$。

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   為什麼一定要在化簡前先找出限制。 分子分母同乘 $x-5$ 可以得到很乾淨的形式

   $f(x)=\frac{x-5}{8-2(x-5)}=\frac{x-5}{18-2x}.$

   這個形式仍然看得出 $x\ne 9$（因為 $18-2x$ 在 $x=9$ 時為零），但 $x\ne 5$ 這個限制已經完全消失了。先化簡、再從化簡後的式子讀定義域，正是這類題目最典型的錯誤做法。

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   用區間表示法寫出定義域。 從實數線挖掉這兩個孤立點，剩下三個開區間：

   $(-\infty,5)\cup(5,9)\cup(9,\infty).$