解複合不等式 11 < 60(1 + x)/7 < 12。

Step-by-step solution

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   動手之前先看清楚結構。 這是一個三部分不等式：同一個量 $\frac{60(1+x)}{7}$ 被夾在 $11$ 與 $12$ 之間。它其實同時是兩個不等式，所以每個運算都必須施加在三個部分上，不能只做兩邊。

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   三個部分同乘 7 以去掉分母。 不等式乘以正數會保持兩邊的方向，而 $7>0$，所以不會有任何翻面：

   $77<60(1+x)<84$

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   三個部分同除以 60。 同樣因為 $60>0$，方向維持不變：

   $\frac{77}{60}<1+x<\frac{84}{60}=\frac{7}{5}$

   此刻先把 $\tfrac{84}{60}$ 約成 $\tfrac{7}{5}$，後面的計算會乾淨許多。

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   三個部分同減 1，把 x 孤立出來。 加減永遠不會改變不等式的方向：

   $\frac{77}{60}-\frac{60}{60}<x<\frac{7}{5}-\frac{5}{5}$

   $\frac{17}{60}<x<\frac{2}{5}$

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   把兩個端點代回檢驗。 取 $x=\tfrac{17}{60}$：$1+x=\tfrac{77}{60}$，所以 $\frac{60}{7}\cdot\frac{77}{60}=\frac{77}{7}=11$——恰好是下界。取 $x=\tfrac{2}{5}$：$1+x=\tfrac{7}{5}$，所以 $\frac{60}{7}\cdot\frac{7}{5}=12$——恰好是上界。由於兩個不等號都是嚴格的，端點本身不含在內，得到開區間 $\left(\tfrac{17}{60},\tfrac{2}{5}\right)$。

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   再用小數試一個點做合理性檢查。 $\tfrac{17}{60}\approx0.2833$，$\tfrac{2}{5}=0.4$。取區間內的 $x=0.35$，得 $\frac{60(1.35)}{7}=\frac{81}{7}\approx11.57$，穩穩夾在 $11$ 與 $12$ 之間 ✓。