等差數列中 u_n − u_(n−1) = d 成立嗎？請證明，並說明它在什麼情況下失效。

Step-by-step solution

1. 1

   先回憶一般項。 首項為 $u_{1}$、公差為 $d$ 的等差數列滿足

   $u_{n}=u_{1}+(n-1)d\qquad (n\ge 1)$

   這是封閉形式；要證的那個結論，正是藏在它裡面的遞迴形式。

2. 2

   把 $n$ 換成 $n-1$，寫出前一項。

   $u_{n-1}=u_{1}+\left((n-1)-1\right)d=u_{1}+(n-2)d\qquad (n\ge 2)$

   $n\ge 2$ 這個限制是有意義的 —— 下標從 $1$ 開始的數列裡並沒有 $u_{0}$。

3. 3

   把兩個式子相減。 $u_{1}$ 互相消掉，而 $d$ 的係數恰好相差一：

   $u_{n}-u_{n-1}=\left[u_{1}+(n-1)d\right]-\left[u_{1}+(n-2)d\right]=\left[(n-1)-(n-2)\right]d=d$

   所以結論成立，對每一個 $n\ge 2$ 都成立；而且答案 $d$ 不隨 $n$ 改變 —— 數列裡處處的間隔都一樣。

4. 4

   推廣到不相鄰的兩項。 對任意下標作同樣的相減，得

   $u_{m}-u_{n}=\left[u_{1}+(m-1)d\right]-\left[u_{1}+(n-1)d\right]=(m-n)d$

   而 $u_{n}-u_{n-1}=d$ 就是取 $m=n$、$n\to n-1$ 的特例。

5. 5

   在具體數列上核對一下。 取 $u_{1}=3$、$d=2$：$u_{2}=5$、$u_{3}=7$、$u_{4}=9$。於是 $u_{4}-u_{3}=9-7=2=d$ ✓，$u_{4}-u_{2}=9-5=4=(4-2)d$ ✓。

6. 6

   說清逆敘述與失效的情形。 這個等式不只是「是等差數列」的推論 —— 它反過來還刻畫了等差數列：若對一切 $n$，$u_{n}-u_{n-1}$ 都等於同一個常數，那麼這個數列就是等差數列。而對一般的數列，這個差根本不必是常數；例如 $u_{n}=n^{2}$ 時 $u_{n}-u_{n-1}=2n-1$，會隨 $n$ 改變。所以只有在確知數列是等差數列之後，才可以用這個公式。