已知 f(x) = 4x − 7、g(x) = 8x² − 2x − 3、h(x) = 4x³ + 9x − 2，求 (g∘f)(x)、(h∘f)(2) 與 (f∘h)(x)。

Step-by-step solution

1. 1

   先確定記號的約定。 $(g \circ f)(x)$ 的意思是 $g(f(x))$：右邊的函數先作用。順序反過來通常會得到不同的答案，這裡 $(f \circ g)(x) = 32x^2 - 8x - 19$，與 (a) 的答案完全不同。

2. 2

   (a)：把 f 代進 g。 把 $g$ 裡的每一個 $x$ 都換成 $4x-7$：

   $g(f(x)) = 8(4x-7)^2 - 2(4x-7) - 3$

   由於 $(4x-7)^2 = 16x^2 - 56x + 49$：

   $= 128x^2 - 448x + 392 - 8x + 14 - 3 = 128x^2 - 456x + 403$

3. 3

   (b)：先算內層的值。 只求一個數值的合成時，不必先把一般式推出來：

   $f(2) = 4(2) - 7 = 1, \qquad h(1) = 4(1)^3 + 9(1) - 2 = 11$

   所以 $(h \circ f)(2) = 11$。先做符號運算的話，就得白白展開 $(4x-7)^3$。

4. 4

   (c)：把 h 代進 f。 因為 $f$ 是一次函數，這個合成很輕鬆——只是伸縮再平移而已：

   $f(h(x)) = 4\left(4x^3 + 9x - 2\right) - 7 = 16x^3 + 36x - 8 - 7 = 16x^3 + 36x - 15$

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   用數值檢驗答案。 取 $x = 1.7$：$f(1.7) = -0.2$ 而 $g(-0.2) = 0.32 + 0.4 - 3 = -2.28$，用公式算則是 $128(2.89) - 456(1.7) + 403 = -2.28$。(c) 取 $x = -2.3$：$h(-2.3) = -71.368$，$f(-71.368) = -292.472$，而 $16(-12.167) + 36(-2.3) - 15 = -292.472$。兩者都吻合。

6. 6

   留意次數的規律。 $m$ 次多項式與 $n$ 次多項式合成後次數是 $mn$：$g \circ f$ 是 $2 \times 1 = 2$ 次，$f \circ h$ 是 $1 \times 3 = 3$ 次，與上面算出的結果相符。