解不等式 −x² + 4x − 4 < 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把首項的負號提出來，讓結構露出來。

   $-x^2+4x-4=-\left(x^2-4x+4\right)$

   括號裡是一個熟悉的完全平方三項式。

2. 2

   認出完全平方。

   $x^2-4x+4=(x-2)^2\quad\Longrightarrow\quad -x^2+4x-4=-(x-2)^2$

3. 3

   利用平方的正負性質。 對每一個實數 $x$ 都有 $(x-2)^2\ge 0$，所以 $-(x-2)^2\le 0$。因此這個式子永遠不會是正的；剩下唯一的問題是它在哪裡等於零。

4. 4

   找出等號成立的地方。 $-(x-2)^2=0$ 恰好在 $x=2$ 時成立。因為原不等式是嚴格的（$<0$ 而不是 $\le 0$），這一個點必須排除。

5. 5

   寫出解集。

   $\boxed{x\in(-\infty,2)\cup(2,\infty),\ \text{即所有實數 }x\neq 2}$

6. 6

   用判別式做交叉檢查。 對 $-x^2+4x-4$ 而言，判別式是 $4^2-4(-1)(-4)=16-16=0$，所以拋物線只在一點與 $x$ 軸相切；又因為開口向下（$a=-1<0$），其餘各處都嚴格落在軸的下方——正是上面得到的結論。抽幾個值看看：$x=0$ 時值為 $-4<0$，$x=2$ 時為 $0$，$x=5$ 時為 $-9<0$。