解一元二次方程式 (2x − 1)(3x + 7) = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   忍住想展開的衝動。 這個方程式已經是「若被展開了、你得辛苦化回去」的那個形式。把它乘開成 $6x^2+11x-7=0$ 再重新分解，純粹是白費力氣。

2. 2

   套用乘積為零的性質。 若兩個實數的乘積是零，至少有一個因式為零：

   $AB=0\iff A=0\ \text{或}\ B=0$

   正是這條性質讓因式分解得以成為一種解法，而且它只在等於零時才成立——$(2x-1)(3x+7)=5$ 完全不能告訴你任何一個括號的值。

3. 3

   拆成兩個一次方程式。

   $2x-1=0\qquad\text{或}\qquad 3x+7=0$

4. 4

   各自解出來。

   $2x=1\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{2}$

   $3x=-7\ \Longrightarrow\ x=-\frac{7}{3}$

5. 5

   把兩個根都代回去。 在 $x=\tfrac12$ 時第一個括號是 $2(\tfrac12)-1=0$，所以乘積為 $0$ $\checkmark$。在 $x=-\tfrac73$ 時第二個括號是 $3(-\tfrac73)+7=-7+7=0$，所以乘積為 $0$ $\checkmark$。兩個根都是精確值。