解不等式 |x − 1| + |x + 1| < 4。

Step-by-step solution

1. 1

   找出轉折點。 每個絕對值都在裡面等於零的地方換公式：分別在 $x=1$ 與 $x=-1$。它們把數線切成 $x<-1$、$-1\le x<1$、$x\ge1$ 三段，在每一段上兩個絕對值都變成單純的一次式。

2. 2

   情形 1：x < −1（兩個絕對值裡面都是負的）。 此時 $|x-1|=1-x$、$|x+1|=-x-1$，兩者的和是 $-2x$：

   $-2x<4\qquad\Longrightarrow\qquad x>-2$

   除以 $-2$ 會讓不等號反向。把 $x>-2$ 與情形的條件 $x<-1$ 取交集，得 $-2<x<-1$。

3. 3

   情形 2：−1 ≤ x < 1（正負號混合）。 此時 $|x-1|=1-x$、$|x+1|=x+1$，含 $x$ 的項互相抵消：

   $(1-x)+(x+1)=2<4$

   恆成立，所以整個區間 $[-1,1)$ 都屬於解。兩個轉折點之間，這個和是常數 $2$。

4. 4

   情形 3：x ≥ 1（兩個絕對值裡面都非負）。 此時和是 $(x-1)+(x+1)=2x$：

   $2x<4\qquad\Longrightarrow\qquad x<2$

   與 $x\ge1$ 取交集，得 $1\le x<2$。

5. 5

   把三種情形取聯集。

   $(-2,-1)\cup[-1,1)\cup[1,2)=(-2,2)$

   三段在轉折點處無縫接成一個區間：

   $-2<x<2$

6. 6

   用距離來讀答案，並驗算。 $|x-1|+|x+1|$ 是 $x$ 到 $1$ 與到 $-1$ 的距離總和。它的最小值就是兩點的間距 $2$，在兩點之間處處達成；在外側，每往外一單位就增加 $2$。所以它剛好在每個轉折點外一單位處達到 $4$——也就是 $x=-2$ 與 $x=2$。檢查：$x=-2$ 時 $|{-3}|+|{-1}|=4$ ✓，$x=2$ 時 $|1|+|3|=4$ ✓，兩者都被嚴格不等式排除。在 $[-6,6]$ 上掃描 $12{,}001$ 個點，每一點都與 $(-2,2)$ 相符 ✓。