解 4.08x² − 652.8x + 10236 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   認出係數並選定方法。 這裡 $a=4.08$、$b=-652.8$、$c=10236$。係數帶小數，沒辦法一眼看出因式分解，所以用

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

2. 2

   一次算一個乘積地求判別式。 每一塊都是精確的小數，所以現在還不需要四捨五入：

   $b^{2}=652.8^{2}=426147.84,\qquad 4ac=4(4.08)(10236)=16.32\times 10236=167051.52$

   $b^{2}-4ac=426147.84-167051.52=259096.32$

   它是正的，所以有兩個相異實根。

3. 3

   開平方。

   $\sqrt{259096.32}=509.0150489\ldots$

   很接近 $509$，但並不等於它——在這裡直接取成 $509$，會讓兩個根在小數第三位就偏掉，所以要多留幾位。

4. 4

   代進公式。 由 $2a=8.16$、$-b=652.8$：

   $x=\frac{652.8\pm 509.0150489}{8.16}$

   $x_{1}=\frac{1161.8150489}{8.16}\approx 142.37930,\qquad x_{2}=\frac{143.7849511}{8.16}\approx 17.62070$

5. 5

   清掉小數以還原精確形式。 把原方程式乘以 $25$ 再除以 $6$，得到整數係數的方程式 $17x^{2}-2720x+42650=0$，它的判別式是 $4498200=2^{3}3^{3}5^{2}7^{2}\cdot 17$，所以 $\sqrt{4498200}=210\sqrt{102}$，於是

   $x=\frac{1360\pm 105\sqrt{102}}{17}$

6. 6

   用根與係數關係檢查。 兩根和必須是 $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{652.8}{4.08}=160$，而確實 $142.37930+17.62070=160.00000$。兩根積必須是 $\dfrac{c}{a}=\dfrac{10236}{4.08}=\dfrac{42650}{17}=2508.8235$，而 $142.37930\times 17.62070=2508.8235\ \checkmark$