解 25x⁴ + 10x² − 4 = 0。

Step-by-step solution

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   認出這是雙二次的形式。 式子裡只出現 $x$ 的偶次方，所以代換 $u=x^{2}$ 就能把四次方程式變成二次方程式： $25u^{2}+10u-4=0.$ 這招對任何 $ax^{4}+bx^{2}+c$ 都適用，比一般的四次方程式公式快得多。

2. 2

   解 $u$ 的一元二次方程式。 取 $a=25$、$b=10$、$c=-4$， $u=\frac{-10\pm\sqrt{100-4(25)(-4)}}{50}=\frac{-10\pm\sqrt{500}}{50}=\frac{-10\pm 10\sqrt5}{50}=\frac{-1\pm\sqrt5}{5}.$ 注意 $\sqrt{500}=10\sqrt5$，而公因數 $10$ 會和 $50$ 約掉。

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   逐個情形把代換還原回去。 由於 $u=x^{2}$，每一個 $u$ 值都會貢獻兩個 $x$ 值——但前提是 $u\ge 0$。因為 $\sqrt5=2.2360680$， $u_{1}=\frac{\sqrt5-1}{5}=0.2472136>0,\qquad u_{2}=\frac{-1-\sqrt5}{5}=-0.6472136<0.$

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   從正的那個根取出實數解。 $x^{2}=\frac{\sqrt5-1}{5}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{5}}=\pm 0.4972058.$ 這是僅有的實數解，所以這條四次曲線的圖形恰好與橫軸相交兩次。

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   從負的那個根取出虛數解。 $x^{2}=-\frac{1+\sqrt5}{5}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm i\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{5}}=\pm 0.8044959\,i.$ 開根號之前忘了檢查 $u$ 的正負號，是這裡最典型的錯誤：不是憑空多出兩個假的實根，就是漏掉兩個複數根。

6. 6

   代回去驗算。 取 $x=0.4972058$：$x^{2}=0.2472136$、$x^{4}=0.06111456$，於是 $25(0.06111456)+10(0.2472136)-4=1.5278640+2.4721360-4=0.0000000$。再做第二重檢查：四個根的乘積應該等於 $c/a=-4/25=-0.16$，而 $\left(0.4972058\right)^{2}\times\left(-\left(0.8044959\right)^{2}\right)=0.2472136\times(-0.6472136)=-0.1600000$。