解不等式 −2x² + 8 ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把平方項孤立出來。 兩邊同時減去 $8$：

   $-2x^{2}\le-8$

2. 2

   兩邊除以 $-2$，並把不等號反向。 不等式兩邊同除（或同乘）一個負數時，不等號方向必須顛倒——這就是主宰本題的唯一規則：

   $x^{2}\ge4$

   若在這裡保留 $\le$，會得到完全相反的錯誤答案 $-2\le x\le2$，所以反向不是可有可無的步驟。

3. 3

   把 $x^{2}\ge4$ 當成距離的敘述來解。 因為 $x^{2}=|x|^{2}$，條件等價於 $|x|\ge2$：點 $x$ 與原點的距離至少是 $2$。這在 $[-2,2]$ 外側的兩條射線上成立，而不是在兩者之間：

   $x\le-2\qquad\text{或}\qquad x\ge2$

4. 4

   寫出解集。

   $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$

   兩個端點都包含在內：當 $x=\pm2$ 時，$-2(4)+8=0$，而 $0\le0$ 成立 ✓。

5. 5

   用圖形與代入檢驗確認。 $y=-2x^{2}+8$ 是開口向下的拋物線，兩根在 $\pm2$，頂點為 $(0,8)$；它恰好在兩根之外的區域小於或等於零。代入檢驗：$x=0$ 得 $8\le0$ ✗（正確地被排除），$x=3$ 得 $-18+8=-10\le0$ ✓，$x=-3$ 得 $-10\le0$ ✓。原不等式與所宣稱的解集在 $51$ 個精確有理點上一致 ✓。