解方程式 x⁴ − 24x² − 25 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   看出雙二次式的形式。 式中只出現 $x$ 的偶次方，所以做變數代換

   $t=x^{2}\quad(\text{要求 }t\ge 0\text{，才能對應到實數 }x)$

   就能把四次式化成二次式。現在先把限制 $t\ge 0$ 記下來，後面淘汰不合的值才會變成自動的事。

2. 2

   改寫成 t 的二次式並求解。

   $t^{2}-24t-25=0\quad\Longrightarrow\quad (t-25)(t+1)=0$

   （乘積為 $-25$、和為 $-24$ 的一對數是 $-25$ 與 $1$。）所以 $t=25$ 或 $t=-1$。

3. 3

   淘汰不合法的值。 對實數 $x$ 而言 $t=x^{2}$ 不可能是負的，所以 $t=-1$ 不會產生任何實數解。

4. 4

   把合法的值還原回 x。

   $x^{2}=25\quad\Longrightarrow\quad x=\pm 5$

   $\boxed{x=5\ \text{或}\ x=-5}$

5. 5

   兩個根都驗算。 當 $x=5$：$625-24(25)-25=625-600-25=0$ ✓。當 $x=-5$ 結果相同，因為式中只出現偶次方 ✓。

6. 6

   順帶記下完整的因式分解。 $x^{4}-24x^{2}-25=\left(x^{2}-25\right)\left(x^{2}+1\right)=(x-5)(x+5)\left(x^{2}+1\right)$。這個四次式總共有四個根——實根 $\pm 5$ 與虛根 $\pm i$——若題目問的是所有根而不只是實根，這一點值得寫出來。