解方程式：根號 (x² − 6x + 1) 等於 5 − 2x。

Step-by-step solution

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   先寫下解必須滿足的兩個條件。 右邊不能是負的，即 $5-2x\ge0$，也就是 $x\le\tfrac52$；被開方數也不能是負的，即 $x^2-6x+1\ge0$，也就是 $x\le 3-2\sqrt2$ 或 $x\ge 3+2\sqrt2$。兩者都是必要條件，所以候選解必須落在 $x \le 3-2\sqrt2 \approx 0.1716$。

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   兩邊平方。 $x^2-6x+1 = (5-2x)^2 = 25-20x+4x^2.$

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   整理成標準式。 把所有項移到同一邊：$0 = 25-20x+4x^2-x^2+6x-1 = 3x^2-14x+24.$

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   算判別式。 $\Delta = (-14)^2-4(3)(24) = 196-288 = -92 < 0.$ 判別式為負代表這個二次式根本沒有實根。

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   下結論。 既然連平方後的方程式都沒有實數解，原來的無理方程式當然沒有實數解。也就沒有東西需要拿去和定義域條件比對了。

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   用一個數字做合理性檢查。 在 $x=0$（它同時滿足兩個定義域條件）時，左邊是 $\sqrt{1}=1$，右邊是 $5$；而 $x$ 往下走時右邊增加得比根號快，所以兩條曲線永遠碰不到。