把 √45 − √12 − √10/√2 + 3/√3 化簡成 a√3 + b√5（a、b 為有理數）的形式，並求 a + b。

Step-by-step solution

1. 1

   先化簡兩個單純的根式。 把最大的完全平方因數提出來：

   $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt5,\qquad \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3$

2. 2

   把根式的商併成一個根號。 利用 $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}$：

   $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt5$

   這比先做分母有理化快得多。

3. 3

   把最後一項有理化。

   $\frac{3}{\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3$

   （也可以直接看出 $\tfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$，因為 $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$。）

4. 4

   把 √3 項與 √5 項分開合併。 它們是不同類的根式，不能併在一起：

   $3\sqrt5-2\sqrt3-\sqrt5+\sqrt3=(3-1)\sqrt5+(-2+1)\sqrt3=2\sqrt5-\sqrt3$

5. 5

   對照題目要求的形式再相加。 寫成 $a\sqrt3+b\sqrt5$ 可得 $a=-1$、$b=2$，所以

   $a+b=-1+2=1$

   $\boxed{a+b=1}$

6. 6

   數值驗算。 $\sqrt{45}=6.7082$、$\sqrt{12}=3.4641$、$\tfrac{\sqrt{10}}{\sqrt2}=2.2361$、$\tfrac{3}{\sqrt3}=1.7321$。總和是 $6.7082-3.4641-2.2361+1.7321=2.7401$，而 $2\sqrt5-\sqrt3=4.4721-1.7321=2.7401$ ✓。