解聯立方程式 x² + y² + xy = 7 與 x + y + xy = 5。

Step-by-step solution

1. 1

   引入基本對稱式。 兩個式子對 $x$、$y$ 都是對稱的，所以令

   $s=x+y,\qquad p=xy$

   利用 $x^{2}+y^{2}=s^{2}-2p$，第一式變成

   $s^{2}-2p+p=s^{2}-p=7$

   第二式就直接是 $s+p=5$。

2. 2

   解這組關於 s、p 的小聯立方程式。 由第二式得 $p=5-s$，代入第一式：

   $s^{2}-(5-s)=7\quad\Longrightarrow\quad s^{2}+s-12=0\quad\Longrightarrow\quad (s+4)(s-3)=0$

   所以 $s=3$ 或 $s=-4$。

3. 3

   檢驗 s = 3 這一支。 此時 $p=5-3=2$，而 $x,y$ 是下列方程式的兩根：

   $t^{2}-st+p=t^{2}-3t+2=0\quad\Longrightarrow\quad (t-1)(t-2)=0$

   於是 $\{x,y\}=\{1,2\}$。

4. 4

   檢驗 s = −4 這一支。 此時 $p=5-(-4)=9$，$x,y$ 將是下列方程式的兩根：

   $t^{2}+4t+9=0$

   它的判別式是 $16-36=-20<0$。這一支給不出任何實數解，必須捨去 —— 檢查 $s^{2}\ge 4p$ 正是判斷一對對稱量能否在實數範圍內實現的標準做法。

5. 5

   寫出解。

   $\boxed{(x,y)=(1,2)\ \text{或}\ (2,1)}$

6. 6

   驗算。 對 $(1,2)$：$1+4+2=7$ ✓，$1+2+2=5$ ✓。$(2,1)$ 同樣成立，因為這組式子是對稱的 —— 這也正好說明了為什麼解總是成對出現、彼此互換，而不會單獨冒出一個。