解 |2a + 7| + |2a − 1| = 8。

Step-by-step solution

1. 1

   先找出轉折點。 每個絕對值都在裡面等於零的地方換公式：

   $2a+7=0\Rightarrow a=-\frac72,\qquad 2a-1=0\Rightarrow a=\frac12$

   它們把數線切成 $a<-\tfrac72$、$-\tfrac72\le a<\tfrac12$、$a\ge\tfrac12$ 三段。

2. 2

   還沒動手就先預測答案的形狀。 注意 $|2a+7|+|2a-1|=2\left(\left|a+\tfrac72\right|+\left|a-\tfrac12\right|\right)$，也就是 $a$ 到 $-\tfrac72$ 與到 $\tfrac12$ 的距離總和的兩倍。這兩點相距 $4$，所以左邊可能的最小值是 $2\times4=8$——恰好等於右邊。這代表方程式問的其實是最小值，而最小值是在一整段線段上達成的，不是幾個孤立的點。

3. 3

   情形 1：a < −7/2（兩個絕對值裡面都是負的）。 此時

   $(-2a-7)+(-2a+1)=-4a-6=8\Rightarrow-4a=14\Rightarrow a=-\frac72$

   這與嚴格條件 $a<-\tfrac72$ 矛盾，所以這一情形沒有帶來新的解（$-\tfrac72$ 這個值會在情形 2 收進來）。

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   情形 2：−7/2 ≤ a < 1/2（正負號混合）。 此時 $|2a+7|=2a+7$、$|2a-1|=-2a+1$，含 $a$ 的項互相抵消：

   $(2a+7)+(-2a+1)=8$

   化成恆等式 $8=8$，對區間裡的每一個 $a$ 都成立。所以整個區間 $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right)$ 都是解。

5. 5

   情形 3：a ≥ 1/2（兩個絕對值裡面都非負）。

   $(2a+7)+(2a-1)=4a+6=8\Rightarrow a=\frac12$

   它滿足 $a\ge\tfrac12$，所以 $a=\tfrac12$ 要收進來。

6. 6

   把各情形取聯集，寫出答案。 情形 2 給出 $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right)$，情形 3 補上端點 $\tfrac12$：

   $-\frac72\le a\le\frac12$

   在這個閉區間之外，左邊會大於 $8$，所以沒有其他解。

7. 7

   用掃描驗證。 在 $-6$ 到 $6$ 之間取 $12001$ 個點計算左邊：它恰好在 $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right]$ 的那些點上等於 $8$，在其他地方都嚴格更大 ✓。