數列對每個大於等於 2 的整數 n 滿足 a(n) = 4a(n-1) - 4a(n-2)，且 a(0) = -2025、a(1) = 2026。已知 a(2025) = b 乘 2^c，其中 b、c 為常數，求 b/c。

Step-by-step solution

1. 1

   寫出特徵方程式。 對常係數線性遞迴式，猜 $a_n=r^n$ 可以把遞迴關係變成代數方程式。代入 $a_n-4a_{n-1}+4a_{n-2}=0$ 並除以 $r^{n-2}$：

   $r^2-4r+4=0\;\Longrightarrow\;(r-2)^2=0\;\Longrightarrow\;r=2\ \text{（重根）}$

2. 2

   用重根對應的通解形式。 重根只給出一個等比解 $2^n$，所以第二個獨立解必須多帶一個因子 $n$：

   $a_n=(A+Bn)\,2^{n}$

   這一步最容易寫錯——寫成 $A\cdot 2^n+B\cdot 2^n$ 會塌成單一常數，無法同時滿足兩個獨立的初始值。

3. 3

   用兩個初始條件定係數。 由 $n=0$：

   $a_0=(A+0)\cdot 2^0=A=-2025$

   由 $n=1$：

   $a_1=(A+B)\cdot 2=2026\;\Longrightarrow\;A+B=1013\;\Longrightarrow\;B=1013+2025=3038$

   所以 $a_n=(3038n-2025)\,2^{n}$。順手驗算：$a_2=(6076-2025)\cdot4=16204$，而直接用遞迴式得 $4a_1-4a_0=4(2026)-4(-2025)=16204$，兩者相符。

4. 4

   代入 $n=2025$ 並把係數因式分解。

   $a_{2025}=(3038\cdot 2025-2025)\,2^{2025}=2025\,(3038-1)\,2^{2025}=2025\cdot 3037\cdot 2^{2025}$

   先提出公因數 $2025$ 再相乘，最後一步才會乾淨——若先乘開會得到 $6{,}149{,}925$，接著又得把它除回 $2025$。

5. 5

   讀出 $b$ 與 $c$ 再相除。 與 $a_{2025}=b\cdot 2^{c}$ 比對得 $b=2025\cdot3037=6{,}149{,}925$、$c=2025$，所以

   $\frac{b}{c}=\frac{2025\cdot 3037}{2025}=3037$

   因數 $2025$ 剛好完全約掉，而這正是這題被設計出來的用意：答案就是 $B-1=3037$。