展開 (1/3)(x − 5)(x + 1) 並寫成標準式。

Step-by-step solution

1. 1

   **刻意選好運算順序。**先把兩個括號相乘，再分配 $\tfrac13$。若在展開之前就把分數乘進括號，會在乘法過程中一路帶著分數，出錯的機率變成三倍。

2. 2

   把兩個二項式相乘。

   $(x-5)(x+1)=x^2+x-5x-5$

   四個乘積分別是 $x\cdot x$、$x\cdot1$、$-5\cdot x$ 與 $-5\cdot1$。

3. 3

   合併括號內的同類項。

   $x^2+x-5x-5=x^2-4x-5$

   只有兩個 $x$ 項可以合併；$x^2$ 與常數各自獨立。

4. 4

   **把 1/3 分配到每一項。**三項都要乘 —— 常見的錯誤是只縮放首項：

   $\frac13\left(x^2-4x-5\right)=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$

5. 5

   **看看這個形式告訴我們什麼。**領導係數 $\tfrac13$ 是正的但小於 $1$，所以這是一條開口向上、比 $y=x^2$ 更寬的拋物線。它的根仍然是 $x=5$ 與 $x=-1$ —— 乘上 $\tfrac13$ 只改變寬度，不改變零點。

6. 6

   **用精確算術驗證。**在 $60$ 個精確的有理數 $x$ 上比較 $\tfrac13(x-5)(x+1)$ 與 $\tfrac13x^2-\tfrac43x-\tfrac53$，每一點都相等 ✓。在 $x=2$ 抽查：$\tfrac13(-3)(3)=-3$，而 $\tfrac43-\tfrac83-\tfrac53=-\tfrac93=-3$ ✓。