解三次方程式 x³ + 2x² + 7x + 4 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把所有有理候選逐一測試。 由有理根定理，可能的根只有 $4$ 的因數：

   $f(1) = 14, \quad f(-1) = -2, \quad f(2) = 34, \quad f(-2) = -10, \quad f(4) = 128, \quad f(-4) = -56$

   沒有一個是零，所以這個三次式在 $\mathbb{Q}$ 上不可分解，也無法靠觀察寫出精確的因式分解。

2. 2

   先把唯一的實根夾住。 三次式一定至少有一個實根。正負號的改變

   $f(-1) = -2 < 0, \qquad f(0) = 4 > 0$

   把根釘在 $(-1, 0)$ 之內。此外 $f'(x) = 3x^2 + 4x + 7$ 的判別式是 $16 - 84 < 0$，所以 $f' > 0$ 處處成立：$f$ 嚴格遞增，實根恰好只有一個。

3. 3

   用牛頓法逼近。 從 $x_0 = -0.7$ 出發迭代 $x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^3 + 2x_n^2 + 7x_n + 4}{3x_n^2 + 4x_n + 7}$，很快就收斂到

   $x_1 \approx -0.6535951654$

   在 40 位工作精度下，殘差低於 $10^{-39}$。（常見的失誤是停在 $-0.6954$ 這種粗略估計上；在那裡 $f = -0.2369$，並不是 $0$。）

4. 4

   除掉這個實根。 用綜合除法除以 $\left(x - x_1\right)$，餘式為零，剩下的二次式是

   $x^2 + 1.3464048346\,x + 6.1199963094 = 0$

   其中兩個係數分別是 $2 + x_1$ 與 $7 + x_1(2 + x_1)$。

5. 5

   解這個二次式，求出那對複數根。 它的判別式是負的：

   $\Delta = 1.3464048346^2 - 4(6.1199963094) = -22.6671792591$

   $x = \frac{-1.3464048346 \pm i\sqrt{22.6671792591}}{2} \approx -0.6732024173 \pm 2.3805030592\,i$

6. 6

   用根與係數關係交叉驗證。 三個根之和必須是 $-2$，之積必須是 $-4$：

   $-0.6535951654 + 2(-0.6732024173) = -2.0000000000 \ \checkmark$

   $(-0.6535951654)\left(0.6732024173^2 + 2.3805030592^2\right) = -4.0000000002 \ \checkmark$

   兩個恆等式都閉合，這在迭代之外獨立地確認了數值結果。