解 x^sqrt(log x) = 10^125，其中 log 為以 10 為底的對數。

Step-by-step solution

1. 1

   作代換，讓兩邊都變成 10 的次方。 難處在於 $x$ 同時出現在底數和指數裡面。令

   $y=\log x\quad\Longleftrightarrow\quad x=10^{y}$

   底數就換成 $10$ 的次方、指數換成 $\sqrt{y}$，與右邊的形式一致。

2. 2

   用代換改寫方程式，並套用冪的冪次法則。

   $\left(10^{y}\right)^{\sqrt{y}}=10^{125}\quad\Longrightarrow\quad 10^{\,y\sqrt{y}}=10^{125}$

3. 3

   讓指數相等。 因為 $t\mapsto 10^{t}$ 是一對一的，指數必須相等：

   $y\sqrt{y}=125\quad\Longrightarrow\quad y^{3/2}=125$

   注意 $y\sqrt y=y^{1}\cdot y^{1/2}=y^{3/2}$，而且要讓 $\sqrt{\log x}$ 是實數就必須 $y\ge0$。

4. 4

   解這個分數次方的方程式。 兩邊同取 $\tfrac23$ 次方，也就是 $\tfrac32$ 的倒數：

   $y=125^{2/3}=\left(5^{3}\right)^{2/3}=5^{2}=25$

5. 5

   把代換還原。 由 $y=\log x=25$ 得：

   $x=10^{25}$

6. 6

   代回原方程式檢查。 當 $x=10^{25}$ 時 $\log x=25$、$\sqrt{\log x}=5$，所以左邊是 $\left(10^{25}\right)^{5}=10^{125}$——正好等於右邊。整個驗算就是指數的算術 $25\times5=125$。