將 x⁴ + 2x³y + 3x²y² + 2xy³ + y⁴ 因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先看係數的規律。 依序列出係數得到

   $1,\;2,\;3,\;2,\;1$

   左右對稱，而且整個式子是 $4$ 次齊次式——每一項的總次數都是 $4$。$4$ 次的齊次對稱式，強烈暗示它是某個 $2$ 次齊次式的平方。

2. 2

   設一個一般三項式的平方。 試 $\left(x^2+kxy+y^2\right)^2$，用 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ 展開，其中 $a=x^2$、$b=kxy$、$c=y^2$：

   $\left(x^2+kxy+y^2\right)^2=x^4+2kx^3y+\left(k^2+2\right)x^2y^2+2kxy^3+y^4$

3. 3

   比對係數。 與目標式比較：

   $2k=2\;\Longrightarrow\;k=1,\qquad k^2+2=1+2=3\;\checkmark$

   兩個條件由同一個 $k$ 同時滿足，這正是這個分解存在的原因。若 $x^2y^2$ 的係數不是 $3$，就沒有任何單一的 $k$ 行得通。

4. 4

   寫出因式分解。

   $x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4=\left(x^2+xy+y^2\right)^2$

5. 5

   數值確認並說明不可分解性。 代 $x=2$、$y=1$：原式是 $16+16+12+4+1=49$，而 $\left(4+2+1\right)^2=7^2=49\;\checkmark$。內層因式 $x^2+xy+y^2$ 在實數範圍不能再分解——把它看成 $x$ 的二次式，判別式是 $y^2-4y^2=-3y^2<0$——所以這就是完整的分解。