求矩陣 A（三列依序為 (1, 3, 2)、(2, −1, −3)、(1, 1, 0)）與矩陣 B（三列依序為 (−3, 2, 4)、(1, 0, 2)、(0, 2, 3)）的乘積 AB。

Step-by-step solution

1. 1

   先檢查形狀並確立規則。 $A$ 是 $3\times 3$，$B$ 也是 $3\times 3$，內側維度相符，所以 $AB$ 是 $3\times 3$。位在第 $i$ 列第 $j$ 行的元素，是 $A$ 的第 $i$ 列與 $B$ 的第 $j$ 行的內積：

   $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}A_{ik}B_{kj}.$

   把相同位置的元素直接相乘是最經典的錯誤——那不是矩陣乘法。

2. 2

   算乘積的第 1 列。 $A$ 的第 $1$ 列是 $(1,3,2)$：

   $(1)(-3)+(3)(1)+(2)(0)=0,$
   $(1)(2)+(3)(0)+(2)(2)=6,$
   $(1)(4)+(3)(2)+(2)(3)=16.$

3. 3

   算第 2 列。 $A$ 的第 $2$ 列是 $(2,-1,-3)$：

   $(2)(-3)+(-1)(1)+(-3)(0)=-7,$
   $(2)(2)+(-1)(0)+(-3)(2)=-2,$
   $(2)(4)+(-1)(2)+(-3)(3)=-3.$

4. 4

   算第 3 列。 $A$ 的第 $3$ 列是 $(1,1,0)$，所以 $B$ 的第三列完全沒有貢獻：

   $(1)(-3)+(1)(1)+(0)(0)=-2,$
   $(1)(2)+(1)(0)+(0)(2)=2,$
   $(1)(4)+(1)(2)+(0)(3)=6.$

5. 5

   組出乘積矩陣。

   $AB=\begin{pmatrix}0&6&16\\ -7&-2&-3\\ -2&2&6\end{pmatrix}.$

6. 6

   用一個行向量抽查。 用 $B$ 乘上 $(1,0,0)^{T}$ 會取出它的第一行 $(-3,1,0)^{T}$；接著 $A(-3,1,0)^{T}=(-3+3+0,\ -6-1+0,\ -3+1+0)^{T}=(0,-7,-2)^{T}$，正好就是 $AB$ 的第一行 ✓。另外也要記得矩陣乘法不可交換：$BA$ 是另一個矩陣。