描述並畫出 3|x| + 4|y| ≤ 12 的解區域。

Step-by-step solution

1. 1

   先善用雙重對稱性。 把 $x$ 換成 $-x$、或把 $y$ 換成 $-y$，$3|x|+4|y|$ 都不變，所以這個區域對兩條座標軸都對稱。因此只要弄懂第一象限的情形，再翻轉兩次就好。

2. 2

   求 $x$ 截距。 令 $y=0$：

   $3|x|\le 12\;\Longrightarrow\;|x|\le 4\;\Longrightarrow\;-4\le x\le 4$

   所以邊界與 $x$ 軸交於 $(\pm 4,0)$。

3. 3

   求 $y$ 截距。 令 $x=0$：

   $4|y|\le 12\;\Longrightarrow\;|y|\le 3\;\Longrightarrow\;-3\le y\le 3$

   得到 $(0,\pm 3)$。

4. 4

   認出邊界是四條線段。 在第一象限裡，等號情形 $3x+4y=12$ 是一條直線，而對稱性把它複製到另外三個象限。四條直邊連起 $(4,0)$、$(0,3)$、$(-4,0)$、$(0,-3)$，形成一個以原點為中心的菱形 —— 正是絕對值讓原本平滑的橢圓變成了直邊。

5. 5

   判斷該塗哪一側。 代原點檢查：$3|0|+4|0|=0\le 12$ $\checkmark$，所以原點包含在內，區域是菱形的內部。不等式不是嚴格的，因此四條邊要畫成實線，且屬於解集合。

6. 6

   檢查一個邊界上的點與一個外部的點。 $(2,\tfrac32)$：$6+6=12\le 12$ $\checkmark$，落在邊上。$(4,1)$：$12+4=16\not\le 12$ $\checkmark$，正確地落在外面。