解不等式 x − 1/3 > x + 4。

Step-by-step solution

1. 1

   照常合併變數項。 兩邊各有一個係數為 $1$ 的 $x$，所以兩邊同減 $x$：

   $x-\frac{1}{3}-x>x+4-x$

2. 2

   注意變數整個不見了。 兩邊的 $x$ 互相抵消，只剩下一個完全沒有變數的敘述：

   $-\frac{1}{3}>4$

   這不是走進死路——這正是答案的另一種樣子。變數一旦消失，剩下的數值命題就一口氣決定了整題。

3. 3

   判斷剩下的命題。 $-\tfrac13$ 有沒有大於 $4$？沒有：$-\tfrac13\approx-0.333$ 是負的，而 $4$ 是正的，所以這個命題是假的。既然它不依賴 $x$，那它對每一個 $x$ 同時為假。

4. 4

   以空集合作結。 沒有任何實數滿足這個不等式，所以

   $\text{解集合}=\varnothing$

   測試 $200$ 個精確的有理數 $x$ 都無解 ✓——這是意料中的，因為兩邊只差一個常數。

5. 5

   從幾何看原因。 直線 $y=x-\tfrac13$ 與 $y=x+4$ 的斜率相同，都是 $1$，所以互相平行、永不相交。左邊那條線固定位在右邊那條的下方 $4+\tfrac13=\tfrac{13}{3}$，因此永遠不可能跑到上面去。若不等號反過來寫成 $x-\tfrac13<x+4$，剩下的命題 $-\tfrac13<4$ 就是真的，解集合會是全體實數。