解方程式 71 × 8 = 71(8.9 − x) − x · √((8.9 − x)² − 64)，求 x。

Step-by-step solution

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   用變數代換 $u=8.9-x$，讓被開方式能分解。 式子 $(8.9-x)^2-64$ 對 $u$ 而言是一個平方差。取 $u=8.9-x$（於是 $x=8.9-u$，且 $71\cdot 8=568$），方程式變成

   $568=71u-(8.9-u)\sqrt{u^2-64}$

   $71(u-8)=(8.9-u)\sqrt{(u-8)(u+8)}$

   把 $568$ 寫成 $71\cdot 8$，左邊才提得出因式——這就是這個方程式會有一個乾淨根的全部原因。

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   確定定義域，順手排掉一支。 根號要求 $u^2\ge 64$，也就是 $u\ge 8$ 或 $u\le -8$。

   若 $u\le -8$，左邊 $71(u-8)$ 為負，而右邊 $(8.9-u)\sqrt{u^2-64}$ 是一個正因子 $8.9-u>0$ 乘上一個非負的根式，所以右邊 $\ge 0$。這一支沒有解——同時也排除了所有 $x\ge 16.9$。

   於是只剩 $u\ge 8$，即 $x\le 0.9$。在這一支上左邊 $\ge 0$，所以還需要 $x=8.9-u\ge 0$：搜尋範圍收窄到 $0\le x\le 0.9$。

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   令 $w=u-8\ge 0$，把邊界根直接讀出來。 此時 $8.9-u=0.9-w$，方程式成為

   $71w=(0.9-w)\sqrt{w(w+16)}$

   取 $w=0$ 恰好滿足它：兩邊都是 $0$。這給出 $u=8$，以及

   $x=8.9-8=0.9$

   代回原方程式檢驗：$71(8.9-0.9)-0.9\sqrt{8^2-64}=568-0=568$。✓ 這個根是純數值解法最容易漏掉的一個，因為它正好落在根號剛剛「開啟」的定義域邊緣上。

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   對 $w>0$ 的情形平方，再把因式 $w$ 除掉。 平方得 $5041w^2=(0.9-w)^2w(w+16)$，再除以 $w>0$：

   $5041w=(w^2-1.8w+0.81)(w+16)=w^3+14.2w^2-27.99w+12.96$

   $w^3+14.2w^2-5068.99w+12.96=0$

   它的三個根是 $w\approx -78.6511$、$w\approx 0.00255674$ 與 $w\approx 64.4486$。只有那個很小的正根滿足 $0<w<0.9$；另外兩個會讓 $0.9-w$ 為負而 $71w$ 為正（或者反過來），所以它們是平方造出來的增根。

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   換回原變數，並對兩個答案做數值驗算。 由 $x=0.9-w$：

   $x=0.9-0.0025567407\ldots=0.8974432593\ldots$

   代回原方程式得 $71(8.0025567)-0.8974433\sqrt{8.0025567^2-64}=568.0000000$，殘差在機器精度內為 $0$。連同那個邊界根一起：

   $x=0.9\qquad\text{與}\qquad x\approx 0.8974432593$

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   為什麼流傳的那個捷徑答案 $x\approx 0.797$ 是錯的。 常見做法是先平方，再試著把四次式 $x^4-17.8x^3-5025.79x^2+9073.8x-4083.21$ 分解成 $(x^2+63.2x-63.9)(x^2-81x+63.9)$。但把這個乘積展開後，$x^2$ 的係數是 $-5119.2$，而不是 $-5025.79$，所以這個分解根本就是假的，它給出的 $0.7968$ 與 $0.9954$ 都不是根。把 $x=0.7968$ 代回原方程式得到大約 $574.30$，而不是 $568$；而配對的 $0.9954$ 連定義域都不在，因為 $(8.9-0.9954)^2-64\approx -1.52<0$。