解不等式 (h + 0.9)/√(1 + h²) < h。

Step-by-step solution

1. 1

   安全地去掉分母。 由於對每個實數 $h$ 都有 $\sqrt{1+h^2} \ge 1 > 0$，兩邊同乘不會改變不等號方向：

   $h + 0.9 < h\sqrt{1+h^2}$

   再兩邊減去 $h$，把 $0.9$ 單獨留下：

   $0.9 < h\left(\sqrt{1+h^2} - 1\right)$

2. 2

   立刻排除 h ≤ 0。 對所有 $h$，括號都滿足 $\sqrt{1+h^2} - 1 \ge 0$，所以若 $h \le 0$，右邊 $\le 0$，而左邊是 $0.9 > 0$。任何非正的 $h$ 都不可能成立，搜尋範圍縮到 $h > 0$。

3. 3

   在兩邊都已知為正的情況下平方。 對 $h > 0$，兩邊除以 $h$ 再加 $1$：

   $1 + \frac{0.9}{h} < \sqrt{1+h^2}$

   現在兩邊都是正的，因此平方是等價變形，而不是單向推論：

   $1 + \frac{1.8}{h} + \frac{0.81}{h^2} < 1 + h^2$

4. 4

   清掉 h 的冪次，得到一個四次不等式。 兩邊減 $1$，再乘以 $h^2 > 0$：

   $1.8h + 0.81 < h^4 \quad \Longrightarrow \quad g(h) = h^4 - 1.8h - 0.81 > 0$

5. 5

   求出這個四次式唯一的正根。 在 $h > 0$ 上，$g'(h) = 4h^3 - 1.8$ 只在 $h = \sqrt[3]{0.45} \approx 0.7663$ 處為零，所以 $g$ 先遞減後遞增；又 $g(0) = -0.81 < 0$，因此恰好有一個正根。從 $h_0 = 1.34$ 出發用牛頓法得

   $h_* = 1.3397213599 \quad (g(h_*) \approx 10^{-39} \ \text{，在 40 位精度下})$

   常被引用的數值 $1.35082$ 是錯的：在那裡 $g = +0.0881$，離零還遠得很。

6. 6

   組出解集合並檢驗。 當 $h > h_*$ 時 $g > 0$，所以

   $h > 1.3397213599\ldots$

   直接代回原不等式可以確認這個分界：在 $h = 1.339$ 時左邊減右邊是 $+0.00075$（不成立），在 $h = 1.3398$ 時是 $-0.000082$（成立），在 $h = 1.35$ 時是 $-0.0107$（成立）。四捨五入後，答案是 $h > 1.3397$。