解不等式 (x + 1)(x − 4) < 0。

Step-by-step solution

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   直接從因式讀出臨界值。 式子已經是因式形式，所以它在 $x=-1$ 和 $x=4$ 處取零。這兩個點把數線切成三段：$(-\infty,-1)$、$(-1,4)$ 和 $(4,\infty)$。乘積只可能在某個因式為零的地方變號，所以在每一段內部正負號都是固定的。

2. 2

   先從形狀上預判答案。 展開後是 $x^2-3x-4$，一條開口向上、以 $-1$ 和 $4$ 為根的拋物線。這樣的曲線只在兩根之間位於橫軸下方，所以我們已經能預期 $-1<x<4$；下面的分段取點只是確認這一點。

3. 3

   每段取一個方便的點代進去。

   $x=-2:\ (-1)(-6)=6>0,\qquad x=0:\ (1)(-4)=-4<0,\qquad x=5:\ (6)(1)=6>0$

   每段只取一個點就夠了，正是因為正負號在段內不會改變。

4. 4

   挑出乘積為負的那一段。 只有中間那一段符合：

   $-1<x<4$

   從結構上看，這裡正是兩個因式異號的區間：$x+1>0$ 而 $x-4<0$。

5. 5

   判定端點取捨。 在 $x=-1$ 和 $x=4$ 處乘積等於 $0$，而 $0<0$ 不成立，所以兩個端點都排除。解集是開區間

   $x\in(-1,4)$

   （要是不等號寫成 $\le 0$，答案就會是閉區間 $[-1,4]$。）