化簡 √27 − √2(2√6 − √8)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把 √2 分配到括號上，其他之後再化簡。 根式相乘會把被開方數併起來：$\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$。先化簡 $\sqrt6$ 與 $\sqrt8$ 也行得通，但先分配可以讓乘積比較乾淨：

   $\sqrt2\cdot 2\sqrt6=2\sqrt{12},\qquad \sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{16}$

2. 2

   把兩個乘積化簡。

   $2\sqrt{12}=2\cdot 2\sqrt3=4\sqrt3,\qquad \sqrt{16}=4$

   所以括號那一塊貢獻的是 $\sqrt2\left(2\sqrt6-\sqrt8\right)=4\sqrt3-4$。

3. 3

   化簡最前面那一項。

   $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt3$

4. 4

   相減，把減號分配到括號內兩項上。

   $3\sqrt3-\left(4\sqrt3-4\right)=3\sqrt3-4\sqrt3+4=-\sqrt3+4$

   $-4$ 那一次變號是最常被漏掉的一步。

5. 5

   寫出答案。

   $\boxed{4-\sqrt3}$

6. 6

   數值檢查。 $\sqrt{27}=5.1962$，而 $\sqrt2(2\sqrt6-\sqrt8)=1.4142(4.8990-2.8284)=1.4142(2.0706)=2.9282$。於是 $5.1962-2.9282=2.2680$，而 $4-\sqrt3=4-1.7321=2.2679$ ✓。