解 x³ − 14x² + 23 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先看缺少的 $x$ 項告訴我們什麼。 完整寫出來，這條三次式是 $x^{3}-14x^{2}+0\cdot x+23=0$，所以根與係數關係給出 $r_{1}+r_{2}+r_{3}=14,\qquad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}=0,\qquad r_{1}r_{2}r_{3}=-23.$ 中間那條關係恰好是零，是很強的約束，也是最後能拿到的最佳檢驗。

2. 2

   排除有理根。 首一整係數三次式的有理根必須整除常數項 $23$，而它是質數，所以候選值只有 $\pm1$ 與 $\pm23$。逐一代入：$f(1)=10$、$f(-1)=8$、$f(23)=4784$、$f(-23)=-19550$。全都不為零，所以這條三次式在有理數上分解不了，只能用數值方法找根。

3. 3

   把三個根各自框起來。 令 $f(x)=x^{3}-14x^{2}+23$：$f(-1.3)=-2.857,\quad f(-1.2)=1.112,\quad f(1.3)=1.537,\quad f(1.4)=-1.696,\quad f(13.8)=-15.088,\quad f(13.9)=3.679.$ 三次變號，所以三個根全是實根，分別落在 $(-1.3,-1.2)$、$(1.3,1.4)$ 與 $(13.8,13.9)$。

4. 4

   用牛頓法逼近。 取 $f'(x)=3x^{2}-28x$，在每個框住的區間內迭代 $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$，得到 $x_{1}=-1.228935648,\qquad x_{2}=1.348309644,\qquad x_{3}=13.880626004.$

5. 5

   用三條根與係數關係一併確認。 和是 $14.000000000$，兩兩乘積之和是 $-0.000000000$，乘積是 $-23.000000000$——三項都與係數相符。兩兩乘積之和是決定性的檢驗：像 $-1.255$、$1.333$、$13.922$ 這種四捨五入過的值看起來很像樣，甚至能讓和接近 $14$，卻通不過這一關（而且 $f(13.922)=7.88$，並不是 $0$）。

6. 6

   寫出答案。 $x\approx -1.228936,\qquad x\approx 1.348310,\qquad x\approx 13.880626.$ 兩個根靠近原點，一個遠在 $14$ 附近，這正是「$-14x^{2}$ 主導、常數 $23$ 很小」應該產生的樣子。